PROPIEDADES DE LA ADICION DE NUMEROS NATURALES
La adición de números naturales cumple las
propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributivo del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a • b) • c = a • (b • c)
Por ejemplo:
(3 • 5) • 2 = 15 • 2 = 30
3 • (5 • 2) = 3 • 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a • b = b • a
Por ejemplo:
5 • 8 = 8 • 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a • 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a • (b + c) = a • b + a • c
Por ejemplo:
5 • (3 + 8) = 5 • 11 = 55
5 • 3 + 5 • 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 • (3 + 8) = 5 • 3 + 5 • 8
Propiedades de la Sustracción de Números Naturales
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
Propiedades de la División de Números Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
NUMEROS ENTEROS
Números Enteros Positivos y Negativos
a) Números Enteros Positivos:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +.
El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8
El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24
Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).
b) Números Enteros Negativos:
Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -.
El número -8 es un entero negativo. El número -24 es un entero negativo.
Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.
c) Valor Absoluto:
En la práctica el valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin importar el signo positivo o negativo.
Para hallar el valor absoluto de -33: |-33| = 33
Para hallar el valor absoluto de +15: |+15| = 15
Comparación de Números Enteros
Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:
a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Por ejemplo: 4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo. +3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.
b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad.
Por ejemplo: +5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3.16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8.+13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.
c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad.
Por ejemplo: -2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5.-11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que 13
Adición y Sustracción de Números Enteros
Tendremos dos posibilidades, las cuales son:
a) Si tenemos números de igual signo:
Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.
Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11
35 +46 +11 En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11
35 +46 +11 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92
+92 = 92 El resultado también será positivo.
Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21
-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61
-61 El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.
b) Si tenemos números de signos diferentes:
Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.
Veamos: 35 -46
35 -46 En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.
35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 - 35 = 11
-11 Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también negativo.
Otro ejemplo: -12 +28
-12 +28 En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.
-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16
+16 = 16 Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también positivo
Multiplicación de Números Enteros
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:
(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo
(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número negativo
(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número negativo
(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo
Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5
-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.
-20 x + 5 En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.
20 x 5 = 100 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 20 x 5 = 100
-20 x 5 = -100 Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo
Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.
NUMEROS RACIONALES
Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se los designan por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales
Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.
Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.
Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.
Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:
Comparación:
Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador.
Números Enteros Positivos y Negativos
a) Números Enteros Positivos:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +.
El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8
El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24
Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).
b) Números Enteros Negativos:
Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -.
El número -8 es un entero negativo. El número -24 es un entero negativo.
Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.
c) Valor Absoluto:
En la práctica el valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin importar el signo positivo o negativo.
Para hallar el valor absoluto de -33: |-33| = 33
Para hallar el valor absoluto de +15: |+15| = 15
Comparación de Números Enteros
Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:
a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Por ejemplo: 4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo. +3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.
b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad.
Por ejemplo: +5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3.16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8.+13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.
c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad.
Por ejemplo: -2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5.-11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que 13
Adición y Sustracción de Números Enteros
Tendremos dos posibilidades, las cuales son:
a) Si tenemos números de igual signo:
Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.
Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11
35 +46 +11 En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11
35 +46 +11 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92
+92 = 92 El resultado también será positivo.
Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21
-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61
-61 El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.
b) Si tenemos números de signos diferentes:
Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.
Veamos: 35 -46
35 -46 En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.
35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 - 35 = 11
-11 Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también negativo.
Otro ejemplo: -12 +28
-12 +28 En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.
-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16
+16 = 16 Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también positivo
Multiplicación de Números Enteros
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:
(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo
(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número negativo
(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número negativo
(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo
Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5
-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.
-20 x + 5 En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.
20 x 5 = 100 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 20 x 5 = 100
-20 x 5 = -100 Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo
Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.
NUMEROS RACIONALES
Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se los designan por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales
Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.
Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.
Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.
Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:
Comparación:
Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador.
Suma y Resta de Números Racionales
La suma de dos números racionales es
otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro:
El cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto:
El opuesto de un número racional a, es otro número racional –a,
a + (-a) = 0
Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma o resta de los numeradores y el denominador será el mismo. Ejemplo
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro:
El cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto:
El opuesto de un número racional a, es otro número racional –a,
a + (-a) = 0
Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma o resta de los numeradores y el denominador será el mismo. Ejemplo
Si las fracciones no tienen el mismo
denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes con igual denominador
(determinamos un denominador común). Luego se opera de la misma manera que en
el cálculo anterior.
Ejemplo
PRODUCTO DE NÚMEROS RACIONALES
El producto de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:
Asociativa:
(a • b) • c = a • (b • c)
Conmutativa:
a • b = b • a
Elemento neutro:
El 1 es un número racional que hace de elemento neutro del producto,
a • 1 = a
Elemento inverso:
El inverso de un número racional a ≠ 0 es otro número racional
que multiplicado por a da 1:
Distributiva respecto a la suma:
a • (b + c) = a • b + a • c
COCIENTE
El cociente de dos números fraccionarios es igual al producto entre el dividendo y el inverso del divisor.
Ejemplo:
-2/5 : 4/3 = -2/5 * ¾ = -6/20 = -3/10
SIMPLIFICACIÓN
Simplificar una fracción es sustituirla por la fracción equivalente cuyo denominador es el menor posible.
Racionalización de Denominadores
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias:
En los dos ejemplos anteriores se ha multiplicado un denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases am, ap, sea una potencia de an. En consecuencia, ha habido que multiplicar el numerador por la misma expresión.
En los dos ejemplos anteriores se ha utilizado la identidad (a + b)(a – b) = a2 – b2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador multiplicándolo por la expresión correspondiente que, por tanto, también ha multiplicado al numerador.
Números Irracionales:
Al resolver una raíz cuadrada inexacta, como por ejemplo √2, encontraremos una respuesta decimal
1,4142135623730950488016......
Que como vemos será infinita y en la cual no encontramos ninguna relación ni periodo definido. Este tipo de números son conocidos como Números Irracionales.
Es mucho más sencillo decir simplemente √2, que decir todo el número decimal, es más, es más exacto y preciso decir √2 que decir todo el número decimal (finalmente este decimal no será más que una aproximación).
Adición y Sustracción de Irracionales
Podemos sumar y restar números irracionales solamente cuando el radical que tengamos sea el mismo en los términos que me dispongo a sumar y restar. Lo explicaremos mejor mediante ejemplos:
Ejemplo1:
3√2 +5√2 - √2 En este caso se me pide realizar una operación combinada de suma y resta 3√2 +5√2 - √2
Podremos sumar y restar ya que todos los términos tienen √2
Ejemplo2:
3√3 +5√2 - √5 Acá también se me pide realizar una operación combinada de suma y resta
3√3 +5√2 - √5 Sin embargo no será posible porque los tres radicales son diferentes.
Pero, ¿cómo puedo realizar estas operaciones?
Volvamos al Ejemplo 1:
3√2 +5√2 - √2 Ya sabemos que podremos sumarlo y restarlo sin ningún problema.
3√2 +5√2 - 1√2 Debemos saber que cuando tengamos el radical solo siempre habrá un "1"
3√2 +5√2 - 1√2 Para resolver este ejercicio bastara con sumar los números fuera de los radicales.
3√2 +5√2 - 1√2 Tendré que resolver 3 + 5 - 1 = 7 y la parte radical no cambiara.
3√2 +5√2 - 1√2 = 7√2
Veamos ahora otro ejemplo:
4√7 -2√7 + √7 Como todos los términos tienen √7 podré sumar y/o restar sin problema
4√7 -2√7 + 1√7 Hemos añadido un "1" donde no había numero con el radical.4√7 -2√7 + 1√7 = 3√7
Multiplicación de Irracionales
Existe una propiedad de los números irracionales, y en general de los radicales, que nos dice:
n√a.b = n√a n√b (y viceversa)
Esto significa que si tengo dos números multiplicándose dentro de una raíz, puedo extraer la raíz de cada uno de ellos y luego multiplicarlos; o también que si tengo dos raíces de igual grado multiplicándose puedo multiplicar los números y obtener la raíz después.
Ejemplo 1:
√9.4 = √9. √4 = 3. 2 = 6 =>
Primero tenía dentro de la raíz cuadrada 9x4, entonces saque raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente multiplicarlos.
Ejemplo 1:
√12.3 = √12. √3 = √36 = 6 =>
En este caso no me convenía hacer lo del ejemplo anterior, por eso multiplique 12x3 primero y luego saque la raíz cuadrada a este resultado.
√12.3 = √12. √3 = √36 = 6 =>
En este caso no me convenía hacer lo del ejemplo anterior, por eso multiplique 12x3 primero y luego saque la raíz cuadrada a este resultado.
División de Irracionales
La propiedad nos dice que:
n√a ÷ n√b = n√a÷b (y viceversa)
Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, dará lo mismo si las resolvemos por separado y después las dividimos, que si primero las dividimos y luego extraemos la raíz.
Ejemplo1:
= 3 ÷ 2 = 1,5=>
Primero hemos extraído las dos raíces cúbicas para luego dividir los resultados.
La propiedad nos dice que:
n√a ÷ n√b = n√a÷b (y viceversa)
Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, dará lo mismo si las resolvemos por separado y después las dividimos, que si primero las dividimos y luego extraemos la raíz.
Ejemplo1:
= 3 ÷ 2 = 1,5=> Primero hemos extraído las dos raíces cúbicas para luego dividir los resultados.
Potenciación de Irracionales
Lo único que debemos hacer es pasar el grado del radical a dividir al exponente. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
3√66 = 66/3 = 62 = 36=>
Como vemos el grado del radical (en este caso 3) pasó a dividir al exponente (en este caso 6). El resultado de esta división (para nosotros 6÷3 = 2) será el nuevo exponente para la cantidad subradical (en este caso 6). Finalmente hemos realizado la potenciación
Ejemplo 2:
(√4)6 = 46/2 = 43 = 64=>
En este caso hemos hecho lo mismo que en el caso anterior, haciendo la aclaración de que cuando un radical no tiene grado, este es 2.
Operaciones Combinadas con Radicales
En algunos casos parece que no se puede resolver una operación de suma y/o resta entre números irracionales, en estos casos dependerá de nosotros darle la forma correcta ala ejercicio.
Por ejemplo, tenemos: 3√2 + √50 - √98
Aparentemente no lo podemos resolver, todos los radicales son diferentes, pero nosotros podremos utilizar las propiedades de la multiplicación para darle la forma que nos ayude a resolverlo.
√50 la podemos escribir
Como √25.2 porque 25. 2 = 50.
Resolveremos la parte que tiene raíz cuadrada exacta, es decir,
√25 = 5
La parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos igual: √2
Finalmente nos quedara que: √50 = √25.2 = √25 √2 = 5√2
Lo mismo hacemos para √98:
√98 = √49.2 = √49 √2 = 7√2
Reemplazamos los valores obtenidos:
3√2 + √50 - √98
3√2 + 5√2 - 7√2
3√2 + 5√2 - 7√2 = 1√2
El número "1" que nos queda podemos colocarlo o no según nuestra conveniencia.
Notas
Fracciones Equivalentes:
Hablamos de fracciones equivalentes cuando tenemos fracciones que valen exactamente lo mismo aunque se escriban de diferente manera. Existen básicamente dos formas de hallar fracciones equivalentes y son por simplificación y por ampliación.
En este primer ejemplo veremos una simplificación:
En esta fracción podemos observar que tanto el número 4 como el número 6 son divisibles entre 2.
4 ~> ÷2 ~> 2
6 ~> ÷2 ~> 3
Entonces dividimos a ambos números entre 2 (siempre debemos dividir a ambos entre el mismo número) y hallamos su equivalente.
Es muy recomendable simplificar siempre las fracciones para tener una mejor presentación.
Pero ahora veamos un ejemplo de ampliación:
En algunos casos parece que no se puede resolver una operación de suma y/o resta entre números irracionales, en estos casos dependerá de nosotros darle la forma correcta ala ejercicio.
Por ejemplo, tenemos: 3√2 + √50 - √98
Aparentemente no lo podemos resolver, todos los radicales son diferentes, pero nosotros podremos utilizar las propiedades de la multiplicación para darle la forma que nos ayude a resolverlo.
√50 la podemos escribir
Como √25.2 porque 25. 2 = 50.
Resolveremos la parte que tiene raíz cuadrada exacta, es decir,
√25 = 5
La parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos igual: √2
Finalmente nos quedara que: √50 = √25.2 = √25 √2 = 5√2
Lo mismo hacemos para √98:
√98 = √49.2 = √49 √2 = 7√2
Reemplazamos los valores obtenidos:
3√2 + √50 - √98
3√2 + 5√2 - 7√2
3√2 + 5√2 - 7√2 = 1√2
El número "1" que nos queda podemos colocarlo o no según nuestra conveniencia.
Notas
Fracciones Equivalentes:
Hablamos de fracciones equivalentes cuando tenemos fracciones que valen exactamente lo mismo aunque se escriban de diferente manera. Existen básicamente dos formas de hallar fracciones equivalentes y son por simplificación y por ampliación.
En este primer ejemplo veremos una simplificación:
En esta fracción podemos observar que tanto el número 4 como el número 6 son divisibles entre 2.
4 ~> ÷2 ~> 2
6 ~> ÷2 ~> 3
Entonces dividimos a ambos números entre 2 (siempre debemos dividir a ambos entre el mismo número) y hallamos su equivalente.
Es muy recomendable simplificar siempre las fracciones para tener una mejor presentación.
Pero ahora veamos un ejemplo de ampliación:
En esta fracción no se puede simplificar,
pero si se podrá ampliar de acuerdo a lo que nos convenga.
3 ~> x3 ~> 9
4 ~> x3 ~> 12 Podemos multiplicar a ambos números por un mismo número (por ejemplo 3) y hallamos una fracción equivalente.
3 ~> x3 ~> 9
4 ~> x3 ~> 12 Podemos multiplicar a ambos números por un mismo número (por ejemplo 3) y hallamos una fracción equivalente.
Comparación de Números Fraccionarios
En el caso ideal de comparación se tienen fracciones de igual denominador, entonces la de mayor numerador será la mayor. Por ejemplo:
y 
la mayor de ellas es 5 porque tiene igual
denominador pero mayor numerador.Pero por lo general nos encontraremos con fracciones de diferentes denominadores, entonces tendremos que hacer un par de multiplicaciones para determinar cuál es mayor, cual es menor, o si son iguales:
y 
En este caso nosotros debemos determinar cuál de estas fracciones representa mayor cantidad.
Multiplicaremos en forma cruzada los numeradores con los denominadores.
Así tendremos: 3 x 6 = 18 y 5 x 4 = 20
18 <20 Vemos que he colocado los resultados abajo de las fracciones y los he comparado. En este caso en particular resulta que el número 20 es mayor que el número 18
3 < 5
4 6
18 <20 Entonces lo mismo se repetirá en la fracción y 5 es mayor que 6/4
Adición y Sustracción de Números Fraccionarios
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:
a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman)
b d bd (se multiplican los denominadores) ¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?
Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:
1. Fracciones homogéneas (1, 3, 5) 4 4 4
2. Fracciones heterogéneas (1, 2, 3) 3 5 7
Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores. Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual.
Para sumar fracciones heterogéneas:
1. Se multiplican los denominadores.
2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:
a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman)
b d bd (se multiplican los denominadores) ¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?
Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:
1. Fracciones homogéneas (1, 3, 5) 4 4 4
2. Fracciones heterogéneas (1, 2, 3) 3 5 7
Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores. Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual.
Para sumar fracciones heterogéneas:
1. Se multiplican los denominadores.
2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
3. Se suman los
productos para obtener el numerador.
Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.
Ejemplo 1:
5 - 1 = 4 Resta de Fracciones Homogéneas
9 9 9
Ejemplo 2:
2 - 1 = ( 2 • 2) - (3 • 1) = 4 - 3 = 1
3 2 6 6 6
Multiplicación de Números Fraccionarios
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números fraccionarios, simplemente debemos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores.
Si por ejemplo tenemos:
2 x 3 x 5 tendremos que multiplicar: 2 x 3 x 5 = 30
5 4 3 5 x 4 x 3 60
Claro que aun podríamos simplificar:
30 = 1
(hemos dividido, tanto al numerador como al denominador entre 30)
60 2
Pero para ahorrarnos la simplificación, podríamos ir simplificando antes de multiplicar, ya que podemos simplificar cualquier numerador con cualquier denominador:
2 x 3 x 5
5 4 3 Esta es la operación original
2 x 3 x 5
5 4 3 Puedo simplificar el numerador 2 con el denominador 4, para ello divido a ambos entre 2.
1 x 3 x 5
5 2 3 Ahora simplifico el numerador 3 con el denominador 3, para ello divido a ambos entre 3.
1 x 1 x 5
5 2 1 Finalmente podemos simplificar el numerador 5 con el denominador 5, para ello dividimos a ambos entre 5.
1 x 1 x 1 = 1
1 2 1 2 Resolvemos la multiplicación (multiplicamos todos los numeradores y todos los denominadores) y llegamos a la misma respuesta simplificada
División de Números Fraccionarios
Cuando tengamos que dividir números fraccionarios en realidad lo que se nos pide es hacer una multiplicación cruzada. Por ejemplo:
2 ÷ 3 = 8
5 4 =15
(Hemos multiplicado 2 x 4 para hallar el numerador 8)
(Hemos multiplicado 5 x 3 para hallar el denominador 15)
También podemos convertir la división a multiplicación, para esto cada vez que veamos una operador ÷ lo podremos reemplazar por un operador x siempre y cuando invirtamos la fracción que viene después del operador. Veamos el ejemplo anterior:
2 ÷ 3 = 2 x 4 = 8
5 4 5 3 15
(Hemos cambiado el operador ÷ por el operador x, y además
hemos invertido la fracción que venia después del ÷)
Lo más recomendable es llevarlo a multiplicación ya que así la operación la podemos hacer directamente sin importar la cantidad de fracciones que tengamos y además podemos simplificar antes de multiplicar. Por ejemplo:
4 ÷ 3 ÷ 2 ÷ 1
5 2 5 3
(Si la queremos resolver por multiplicación cruzada lo tendremos
que hacer de dos en dos y además no puedo simplificar antes)
4 x 2 x 5 x 3
5 3 2 1
(Ahora lo he convertido a multiplicación, puedo resolver todo
directamente y además podemos simplificar antes)
Solamente podemos simplificar antes de operar en la multiplicación
Potenciación de Números Fraccionarios
En la potenciación de números fraccionarios, o simplemente fracciones, tendremos que observar una condición y esta es que la fracción debe estar entre paréntesis para que la potencia la afecte a toda ella.
Si por ejemplo tenemos:
(4)3 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64
3 33 3 x 3 x 3 27
Pero si lo tenemos sin paréntesis:
43 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64
3 3 3 3
En los dos ejemplos anteriores observamos claramente el efecto del paréntesis y la necesidad de su empleo en la potenciación de fracciones.
Radicación de Números Fraccionarios
En este caso el radical afectara tanto al numerador como al denominador. Por ejemplo:3√8 = 3√8 = 2
(Porque 2 x 2 x 2 = 8) 27 3√27 3 (porque 3 x 3 x 3 = 27
Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.
Ejemplo 1:
5 - 1 = 4 Resta de Fracciones Homogéneas
9 9 9
Ejemplo 2:
2 - 1 = ( 2 • 2) - (3 • 1) = 4 - 3 = 1
3 2 6 6 6
Multiplicación de Números Fraccionarios
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números fraccionarios, simplemente debemos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores.
Si por ejemplo tenemos:
2 x 3 x 5 tendremos que multiplicar: 2 x 3 x 5 = 30
5 4 3 5 x 4 x 3 60
Claro que aun podríamos simplificar:
30 = 1
(hemos dividido, tanto al numerador como al denominador entre 30)
60 2
Pero para ahorrarnos la simplificación, podríamos ir simplificando antes de multiplicar, ya que podemos simplificar cualquier numerador con cualquier denominador:
2 x 3 x 5
5 4 3 Esta es la operación original
2 x 3 x 5
5 4 3 Puedo simplificar el numerador 2 con el denominador 4, para ello divido a ambos entre 2.
1 x 3 x 5
5 2 3 Ahora simplifico el numerador 3 con el denominador 3, para ello divido a ambos entre 3.
1 x 1 x 5
5 2 1 Finalmente podemos simplificar el numerador 5 con el denominador 5, para ello dividimos a ambos entre 5.
1 x 1 x 1 = 1
1 2 1 2 Resolvemos la multiplicación (multiplicamos todos los numeradores y todos los denominadores) y llegamos a la misma respuesta simplificada
División de Números Fraccionarios
Cuando tengamos que dividir números fraccionarios en realidad lo que se nos pide es hacer una multiplicación cruzada. Por ejemplo:
2 ÷ 3 = 8
5 4 =15
(Hemos multiplicado 2 x 4 para hallar el numerador 8)
(Hemos multiplicado 5 x 3 para hallar el denominador 15)
También podemos convertir la división a multiplicación, para esto cada vez que veamos una operador ÷ lo podremos reemplazar por un operador x siempre y cuando invirtamos la fracción que viene después del operador. Veamos el ejemplo anterior:
2 ÷ 3 = 2 x 4 = 8
5 4 5 3 15
(Hemos cambiado el operador ÷ por el operador x, y además
hemos invertido la fracción que venia después del ÷)
Lo más recomendable es llevarlo a multiplicación ya que así la operación la podemos hacer directamente sin importar la cantidad de fracciones que tengamos y además podemos simplificar antes de multiplicar. Por ejemplo:
4 ÷ 3 ÷ 2 ÷ 1
5 2 5 3
(Si la queremos resolver por multiplicación cruzada lo tendremos
que hacer de dos en dos y además no puedo simplificar antes)
4 x 2 x 5 x 3
5 3 2 1
(Ahora lo he convertido a multiplicación, puedo resolver todo
directamente y además podemos simplificar antes)
Solamente podemos simplificar antes de operar en la multiplicación
Potenciación de Números Fraccionarios
En la potenciación de números fraccionarios, o simplemente fracciones, tendremos que observar una condición y esta es que la fracción debe estar entre paréntesis para que la potencia la afecte a toda ella.
Si por ejemplo tenemos:
(4)3 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64
3 33 3 x 3 x 3 27
Pero si lo tenemos sin paréntesis:
43 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64
3 3 3 3
En los dos ejemplos anteriores observamos claramente el efecto del paréntesis y la necesidad de su empleo en la potenciación de fracciones.
Radicación de Números Fraccionarios
En este caso el radical afectara tanto al numerador como al denominador. Por ejemplo:3√8 = 3√8 = 2
(Porque 2 x 2 x 2 = 8) 27 3√27 3 (porque 3 x 3 x 3 = 27
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